La fonction de répartition pose souvent problème lorsqu’il faut passer d’une loi de probabilité à une fonction définie par morceaux. En cours particulier, e-Supadom peut reprendre ce raisonnement étape par étape, selon le niveau de l’étudiant, ses exercices et ses difficultés : lecture d’une loi discrète, intégration d’une densité ou calcul de probabilités sur un intervalle.
La fonction de répartition d’une variable aléatoire XX associe à chaque réel xx la probabilité que XX prenne une valeur inférieure ou égale à xx. Elle décrit donc une probabilité cumulée. Pour la calculer, on additionne des probabilités dans le cas discret ou on intègre une densité dans le cas continu.
Comment interpréter une fonction de répartition ?
La fonction de répartition est définie par :
Ainsi, si :
alors XX a une probabilité de 80 % de prendre une valeur inférieure ou égale à 5. Il ne s’agit donc pas de la probabilité que XX soit exactement égale à 5. Cette notion est centrale dans l’étude des probabilités et des variables aléatoires, car la fonction de répartition caractérise entièrement la loi de XX.
Quelles propriétés doit vérifier une fonction de répartition ?
Toute fonction de répartition est comprise entre 0 et 1, non décroissante et continue à droite. Elle vérifie également :
Elle permet surtout de calculer une probabilité sur un intervalle :
Pour une variable aléatoire continue, P(X=a)=0P(X=a)=0. Les choix de bornes ouvertes ou fermées ne changent alors pas la probabilité. Cette utilisation de probabilités cumulées intervient aussi directement en statistiques.
Comment calculer la fonction de répartition d'une variable discrète ?
Si XX prend les valeurs xix_i, on additionne les probabilités correspondant aux valeurs inférieures ou égales à xx :
Pour une variable de Bernoulli telle que :
on obtient :
Le raisonnement est simple : avant 0, aucune valeur possible n’est cumulée. Entre 0 et 1, seule la valeur 0 est comptée. À partir de 1, toutes les probabilités sont cumulées. La représentation est donc une fonction en escalier. Chaque saut correspond à une masse de probabilité. Les bases nécessaires à ce raisonnement peuvent aussi être consolidées en cours particuliers de mathématiques.
Comment calculer la fonction de répartition d'une variable continue ?
Lorsqu’une variable possède une densité fXf_X, sa fonction de répartition s’obtient par intégration :
Lorsque la densité est continue en xx, on retrouve localement cette densité en dérivant :
Plus généralement, pour une loi possédant une densité, cette égalité est vérifiée presque partout.
Si XX suit une loi uniforme sur [a,b][a,b] :
Entre aa et bb, la fraction représente la longueur déjà parcourue, x−ax-a, rapportée à la longueur totale, b−ab-a. L’étude de ces lois s’inscrit naturellement dans un cours de probabilités.
Quelle méthode utiliser dans un exercice ?
Avant tout calcul, il faut repérer les valeurs où l’expression de FXF_X peut changer. Pour une variable discrète, ce sont les valeurs possibles de XX. Pour une densité définie par morceaux, ce sont les bornes de ses différents intervalles. On détermine ensuite P(X≤x)P(X\leq x) sur chaque zone, puis on écrit la fonction par morceaux. Enfin, on vérifie qu’elle est non décroissante et qu’elle tend vers 0 à gauche et 1 à droite. L’erreur la plus fréquente consiste à confondre P(X=x)P(X=x) et FX(x)F_X(x) : la première est une probabilité ponctuelle, tandis que la seconde cumule toutes les probabilités jusqu’à xx.
Des cours particuliers en ligne permettent notamment de reprendre ce type d’exercice avec une correction adaptée. La visioconférence appliquée à l’accompagnement scolaire peut aussi faciliter le travail étape par étape sur les fonctions et leurs représentations.